漫談力學(xué)

認(rèn)識(shí)力學(xué)，不應(yīng)該把力學(xué)孤立出來單獨(dú)理解。力學(xué)的本質(zhì)與特征是通過與相關(guān)學(xué) 科的比較逐漸形成并明晰的。力學(xué)與數(shù)學(xué)、工程有著天然、不可分割的緊密聯(lián) 系，與數(shù)學(xué)學(xué)科相比，力學(xué)是應(yīng)用學(xué)科；與工程學(xué)科相比，力學(xué)是幾乎所有工程 學(xué)科的理論基礎(chǔ)，具有自然哲學(xué)的研究傳統(tǒng)；正是這種特性使力學(xué)成為了數(shù)學(xué)與 工程得以互通的橋梁。

其次，對(duì)力學(xué)的理解不應(yīng)是一成不變的。準(zhǔn)確的說，力學(xué)也是一個(gè)歷史的概念， 它的內(nèi)涵隨時(shí)代的變化而不斷發(fā)生變化。亞里士多德時(shí)代，力學(xué)與數(shù)學(xué)無關(guān)，是 純粹的思辨；伽利略將數(shù)學(xué)定量分析應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)學(xué)開始，力學(xué)才變成了精密科 學(xué)；直至牛頓力學(xué)、拉格朗日分析力學(xué)的建立，力學(xué)的發(fā)展程度越高，與數(shù)學(xué)的 聯(lián)系也越加緊密。

隨著時(shí)代的發(fā)展，越是大型工程對(duì)力學(xué)分析的依賴越高，大型艦艇、大跨度橋 梁、超高建筑、高鐵、空間技術(shù)等等領(lǐng)域越來越依賴于力學(xué)理論的發(fā)展。本文首 先將力學(xué)視為數(shù)學(xué)、工程之間的橋梁，討論力學(xué)與數(shù)學(xué)、工程之間的緊密聯(lián)系， 然后簡(jiǎn)述力學(xué)各分支學(xué)科的發(fā)展，以此構(gòu)建力學(xué)的基本框架。

一、力學(xué)與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系

數(shù)學(xué)和力學(xué)這兩個(gè)學(xué)科，有點(diǎn)像親姐妹一樣，她們結(jié)伴成長(zhǎng)。在歷史發(fā)展的長(zhǎng)河 中，主流數(shù)學(xué)和力學(xué)的發(fā)展總是同步的。最著名的數(shù)學(xué)家一般也是最著名的力學(xué) 家。

——武際可《最著名的數(shù)學(xué)家一般也是最著名的力學(xué)家》

阿基米德 （Arch imedes, 前 287 年 前 212 年） ，確 立了流體靜力學(xué)的基本原理

（阿基米德定律） ，提出了杠 桿原理等，被后人譽(yù)為 ”力 學(xué)之父”。

在數(shù)學(xué)上 ，他給出曲線 圍成簡(jiǎn)單圖形的體積和重心 的計(jì)算方法，從而引進(jìn)了簡(jiǎn) 單的極限概念。

牛頓 （ Isaac Newton ,

1643 1727） ，力學(xué)上發(fā)現(xiàn) 了萬有引刀；提出的牛頓三 是律成為經(jīng)典力學(xué)的墓礎(chǔ)；

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》 成 為力學(xué)發(fā)展史的里程碑。

數(shù)學(xué)上發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式 走理，創(chuàng)立了微積分，在解 析幾何、數(shù)僵方法等數(shù)學(xué)領(lǐng) 域中均有豐碩的成就。

二、力學(xué)與工程的密切關(guān)系

從過去100年來力學(xué)發(fā)展情況看，力學(xué)是一門處理宏觀問題的學(xué)問。它是用理 論，通過具體數(shù)字計(jì)算一個(gè)個(gè)實(shí)際問題。這些問題在過去都來自工程。

——錢學(xué)森《我對(duì)今日力學(xué)的認(rèn)識(shí)》

團(tuán)軍團(tuán)

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納維 （Claude-LouisNavier , 1785年 1836 年） ，法國(guó)刀學(xué)家，

1824-1826 年，采用理論計(jì)算設(shè)計(jì)

了一座懸索橋，改變了橋梁工程領(lǐng) 域單憑經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)建造用橋的傳統(tǒng)。 上圖為納維設(shè)計(jì)的懸索橋，及翼橋 墩部臺(tái)。

三、牛頓力學(xué)的創(chuàng)立

從古希臘自然哲學(xué)到17世紀(jì)力學(xué)發(fā)展，主要以天體力學(xué)和牛頓力學(xué)為代表， 1687年牛頓發(fā)表《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，標(biāo)志著牛頓力學(xué)的確立。

亞里士多德 （A 「istotl e，前 384前 322） ：是古希臘自然 哲學(xué)發(fā)展的集大成者，｛刨寄自然哲學(xué)進(jìn)行了臺(tái)科，使得科學(xué) 的發(fā)展有了學(xué)科針對(duì)性。在力學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要集中在 《物 理學(xué)》 中，盡管存在一些錯(cuò)誤的結(jié)論，但翼學(xué)術(shù)思想對(duì)于力 學(xué)學(xué)科的發(fā)展具有重要的價(jià)值和意義。

伽利路 （Galile。Galilei ,1564 ”1642） 是淫生蓋亞里士多德物理學(xué)與宇領(lǐng)刀學(xué)的班要人物，比

薩斜塔吉9）；；體與斜面實(shí)主盤震動(dòng)了汪里立多德的權(quán)威，總結(jié)出自由落體定律、慣錐律和伽利路館 對(duì)性原理等推翻了亞里士多德物理學(xué)的許多撼斷．奠定了經(jīng)典刀學(xué)的基礎(chǔ)，而他將定量分析引

入實(shí)驗(yàn)，便提成為近代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的奠基人 被譽(yù)為 ”近代為學(xué)之父”，為年預(yù)理論體系奠定了基礎(chǔ)．

Jt骨弱和付芷梳阿拉總。 開窗勒（J。hannes Kepi町，

1571-1630） 行星運(yùn)行三定

律．

1.每一個(gè)行墨都iB備 白的鍵因軌道環(huán)繞太陽．而 太陽缸子衡陽？個(gè)焦.r#a;

2. 在德等時(shí)間內(nèi)，太

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3. 繞以太陽為焦點(diǎn)的確囚軌iti運(yùn)行的行罷，只橢圓軌il:i半t是

$曲的立方與周期的平方之比是一個(gè)常st.

｛向量半徑｝ 所組泣的面積 徊等；

四、最速降線與變分法

約翰?伯努利 (Johann Bernoulli, 1667~1748) 1696年向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提 出一個(gè)難題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受地心引力的作用，自較 高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問沿著什么曲線下滑，時(shí)間最短？”科學(xué)家對(duì)該 問題的研究導(dǎo)致了變分法的誕生！

1630 年，伽利略在做斜面實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)相同的4

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向終點(diǎn)，最快的路徑并不是直線而是一條曲線。

E伽利略錯(cuò)誤的認(rèn)為是圄的一部分。

施救人員

為了說明這個(gè)問題，先來看一個(gè)河中救人的 例子。假設(shè)左國(guó)申奇人落水，為了盡快將人求出， 施救人員一般會(huì)先在岸上跑到距離落水者最近 的 C 點(diǎn)，然后在跳入水中游泳到達(dá)落水者處， 即選擇路徑 2 進(jìn)行施放。而不是選擇直線路徑 1 進(jìn)行施救。這是因?yàn)殛懙厣吓艿目?，就多跑一段?游泳的速度慢就少游一段。因此，路徑與速度密 切直接相關(guān)。

五、剛體運(yùn)動(dòng)的描述

牛頓力學(xué)主要解決了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和相關(guān)力學(xué)問題，而剛體力學(xué)主要是在1765年歐 拉發(fā)表的《剛體運(yùn)動(dòng)理論》后逐漸形成并發(fā)展起來的。

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歐拉 （Leonhard Euler, 1707-1783 ） 最阜 （ 1760 年） 用進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自轉(zhuǎn)角 （合稱歐拉角） 描述了剛體在 三維歐氏族空間的繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。如上國(guó)所示，α 為進(jìn)動(dòng)角， F為童動(dòng)角，y 為自轉(zhuǎn)角，并給出了剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

A, B氣 C 分別為剛體 對(duì)伴 隨坐標(biāo) 系 二個(gè) 坐標(biāo) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，(I);I.； 角速 度向堂，其在伴隨坐標(biāo)系 中的分量分別為 p , q,,.

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六、分析力學(xué)的發(fā)展

分析力學(xué)是有別于牛頓力學(xué)體系的新體系，其特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力 與力矩的分析。1788 年，拉格朗日完成的《分析力學(xué)》標(biāo)志著分析力學(xué)體系的 建立。

1725 年約翰 伯努利：在一切 力的平衡中，不論它們?nèi)绾?作用．正能量的第I將總是等 于負(fù)能量的總和。

19 世紀(jì)初J科里奧利給出的 功原理描述：在迎想完整的 約束中，主動(dòng)力在位移上 所作的總功為零。

1743年達(dá)朗貝爾提出了求解 約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè) 普遍原理一達(dá)朗貝爾原理。

在分析力學(xué)中，虛功原理、達(dá) 朗貝爾原理成為兩大革妥理 論基礎(chǔ)。

七、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)-流體力學(xué)

流體力學(xué)的發(fā)展大致可分為四個(gè)階段：

萌芽階段（16世紀(jì)以前）；

形成階段（文藝復(fù)興-18世紀(jì)中葉）；

發(fā)展階段（18世紀(jì)中葉-19世紀(jì)中葉）；

流體力學(xué)的飛躍發(fā)展（19世紀(jì)中葉以來）。

2100 年后,f/7 可飲用的都江』桂元2500 年后仍可伙刑的羅馬砍下 分利 用了 彎i革壞 瓦排沙 水 革 系統(tǒng)

在萌芽階段，流體利用主要以水利、造船等工程為依托， 人們逐漸和累流體力學(xué)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，如中國(guó)的都江垣，羅馬 古城的下水道系統(tǒng)，在今夫看來都非常先進(jìn) ．

公元前 250年，阿基米德的 《論浮力》 丑于流體力學(xué)進(jìn) 行了較為系統(tǒng)的總結(jié)，奠定了流體力學(xué)的基礎(chǔ)。

八、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)-固體力學(xué)

固體力學(xué)的發(fā)展是從彈性力學(xué)開始的，推動(dòng)固體力學(xué)的發(fā)展主要有兩個(gè)方面：

一方面是工程的推動(dòng)，橋梁道路建設(shè)、造船、軍械制造等迫切需要了

解固體的變形與破壞的機(jī)理；

另一方面，是對(duì)光波傳播機(jī)理的探討要求了解彈性波的傳播理論。

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伽利略 《關(guān)于兩門新科學(xué) 1678 年，胡克在 的對(duì)話》 （ 1638年） 申研究懸 《論彈簧》 中指出， 譬梁的強(qiáng)度，暗示中性層位于在彎曲時(shí)桿的一側(cè)

梁的下面。 的纖維伸長(zhǎng)，另寸則

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1686 年，馬路

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流體的運(yùn)動(dòng)》 中也

門戰(zhàn) ｜ 認(rèn)為中性層在梁的

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馬略特的插圖

九、沖擊動(dòng)力學(xué)

沖擊碰撞是日常生活中常見的力學(xué)現(xiàn)象，同時(shí)又與航空航天、汽車、防護(hù)工程、 國(guó)防工程息息相關(guān)。沖擊動(dòng)力學(xué)是專門研究在短暫而強(qiáng)烈的動(dòng)載作用下材料行為 和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的一門科學(xué)。

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最初人們采用沖擊動(dòng)載荷系數(shù)，將沖擊

問題等效為靜力學(xué)｜可題來處理：

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1872 年，John Hopkinson 為了測(cè)走鋼絲在 沖擊加載下的強(qiáng)度，在劍橋大學(xué)工程實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì) 了一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)。如上國(guó)左，討論硅碼下落高度 對(duì)鋼絲斷裂特性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)下落高度不太高 時(shí)，上端斷裂 ，太高時(shí)下端斷裂。

十、非線性科學(xué)的發(fā)展

迄今為止，我們處理的問題多以線性為主，線性系統(tǒng)的整體性態(tài)通常滿足疊加原 理，從而比較容易分析，但也限制了它的適用范圍。在自然科學(xué)和工程技術(shù)里， 不少現(xiàn)象不能采用線性模型描述。非線性就是不滿足線性疊加原理的性質(zhì)。人們 真正關(guān)注的，是僅用線性理論所不能解釋的那些非線性現(xiàn)象。非線性科學(xué)就是研 究各類系統(tǒng)中非線性現(xiàn)象共同規(guī)律的一門交叉科學(xué)。

非線性科 學(xué)中較成 熟的部分是非線性動(dòng)力 學(xué)。1881 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家、

力學(xué)家亨利 ·龐加萊 （Jules HenriPoincare ,1854

-1912） 發(fā)表的關(guān) 于微分

方程所確定的積分 曲線 的論文開創(chuàng)了非 線性 問 題的定性理論研究 。

。 單擺是一種理 想、的

物理模型，當(dāng)擺角小于 5。 時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程可近 似為線性方程 。當(dāng)單擺做 大幅度擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn) 動(dòng)微分 方程為如下的 非 線性方程：

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1918 年，Georg Duffi暗(1861-1944） 在經(jīng)典 力學(xué)中引入了一個(gè)描述具有驅(qū)動(dòng)力單擺的非線 性 動(dòng)力學(xué)方程，成為非線性系統(tǒng)的經(jīng)典方程杜芬

方程：

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1963 年，美國(guó)氣象學(xué)家浩倫茲（巳 N. Lorenz) 將描述大氣熱對(duì)流的非線性偏微分方程組通過傅 里葉晨開，大膽地截?cái)喽鴮?dǎo)出了描述垂直速度、 上下溫差的晨開系數(shù) x( t) ,y( t),z(t）的三維自治動(dòng)力 系統(tǒng)。該系統(tǒng)對(duì)初僵非常敏感，j備倫茲當(dāng)年只是 忽略了小數(shù)點(diǎn)4 位以后的數(shù)值，得到的結(jié)果就有 了相當(dāng)大的偏差，甚至是完全相皮。這一初值敏 感性被形象地稱為’蝴蝶效應(yīng)＼ 巴西蝴蝶扇動(dòng)翅 膀在美國(guó)引起德克薩斯的隱鳳。

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十一、力學(xué)的交叉學(xué)科

20世紀(jì)以來，力學(xué)的發(fā)展與其它學(xué)科的交叉和融合日顯突出，形成了許多力學(xué)

交叉學(xué)科，如生物力學(xué)，環(huán)境力學(xué)，交通力學(xué)，爆炸力學(xué)等，同時(shí)，人類社會(huì)和 經(jīng)濟(jì)發(fā)展的更高需求將不斷促進(jìn)力學(xué)與其他學(xué)科的交叉，促進(jìn)力學(xué)交叉學(xué)科發(fā)展 到一個(gè)嶄新的階段。

結(jié)束語

基爾霍夫說：“力學(xué)是關(guān)于運(yùn)動(dòng)的科學(xué)?！比绻鸯o止也看作是運(yùn)動(dòng)的一種特殊 形式，世界上的萬物已經(jīng)找不出除了靜止和運(yùn)動(dòng)還會(huì)有什么狀態(tài)，力學(xué)為認(rèn)識(shí)這 些物質(zhì)（或物體）的狀態(tài)提供了基本完備的方法，力學(xué)廣泛的適應(yīng)性使得力學(xué)具 有了自然哲學(xué)的屬性。

力學(xué)到底在人類科技進(jìn)展中扮演著什么樣的角色？

在那些里程碑式的科技進(jìn)步中，如蒸汽機(jī)代表的蒸汽時(shí)代，電力代表的電氣時(shí) 代，信息代表的信息時(shí)代，以及人們預(yù)測(cè)的以互聯(lián)網(wǎng)、智能技術(shù)、生物技術(shù)為代 表的新一輪技術(shù)革命所催生的新一輪產(chǎn)業(yè)革命，似乎力學(xué)都沒有參與。

其實(shí)不然，蒸汽機(jī)技術(shù)的成熟得益于牛頓力學(xué)的完善；電氣時(shí)代得益于發(fā)電機(jī)和

電動(dòng)機(jī)的發(fā)明，而熟悉發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī)工作原理的人可能不會(huì)說與力學(xué)無關(guān)，電 子工程師們也調(diào)侃“如果沒有掉入力學(xué)和熱學(xué)的坑里都不好意思說自己是電子工 程師”，信息技術(shù)可以分為硬件和軟件兩個(gè)部分，硬件自然少不了力和熱，軟件 編程部分也會(huì)利用力學(xué)模型去規(guī)劃算法；人工智能是新一輪產(chǎn)業(yè)革命中重點(diǎn)領(lǐng) 域，而提到人工智能很多人會(huì)和信息技術(shù)、軟件編程相聯(lián)系，以機(jī)器人技術(shù)為 例，如果沒有力學(xué)先規(guī)劃出機(jī)器人的功能動(dòng)作，并給出這些動(dòng)作的數(shù)學(xué)描述，信 息技術(shù)和編程就無法開展。

這大概就是馬克思所謂的“力學(xué)是‘大工業(yè)的真正科學(xué)的基礎(chǔ)’”(《剩余價(jià)值 理論》第二冊(cè)，116)。很多工程問題隨著討論的深入，一般都會(huì)成為力學(xué)問 題，力學(xué)問題解決了，其它問題也就迎刃而解?？赡苷蛉绱藧垡蛩固拐f：“盡 管我們今天確實(shí)知道古典力學(xué)不能用來作為統(tǒng)治全部物理學(xué)的基礎(chǔ)，可是它在物 理學(xué)中仍然占領(lǐng)著我們?nèi)克枷氲闹行??！?《物理學(xué)與實(shí)在》)